Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( 1;5;0 ),,B( 3;3;6 ) và đường th
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A \left( {1;5;0} \right), \,B \left( {3;3;6} \right) \) và đường thẳng \(d: \dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2} \). Điểm \(M \left( {a;b;c} \right) \) thuộc đường thẳng \(d \) sao cho chu vi tam giác \(MAB \) nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c \) bằng
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: Chu vi tam giác \(MAB\) bằng \(MA + MB + AB\)
Mà \(AB\) cố định nên chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng \(MA + MB\) nhỏ nhất.
\(A\left( {1;5;0} \right),\,B\left( {3;3;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\)
\(M \in d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2} \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( { - 1 + 2t;1 - t;2t} \right)\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}MA + MB = \sqrt {{{\left( {2t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2t - 4} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( {2t - 6} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {9{t^2} + 20} + \sqrt {9{t^2} - 36t + 56} = \sqrt {{{\left( {3t} \right)}^2} + 20} + \sqrt {{{\left( {3t - 6} \right)}^2} + 20} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {3t} \right)}^2} + 20} + \sqrt {{{\left( {6 - 3t} \right)}^2} + 20} \ge \sqrt {{{\left( {3t + 6 - 3t} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {20} + \sqrt {20} } \right)}^2}} = 2\sqrt {29} \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{3t}}{{6 - 3t}} = \dfrac{{\sqrt {20} }}{{\sqrt {20} }} = 1 \Leftrightarrow t = 1\)
\( \Rightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = 2\sqrt {29} \) khi và chỉ khi \(t = 1\)\( \Leftrightarrow M\left( {1;0;2} \right)\,\, \Rightarrow \)\(a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 2.3 = 7\).
Chọn: B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
