Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d:,,x1 = y1 = z + 1 - 2;,,De
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian \(Oxyz, \) cho ba đường thẳng \(d: \, \, \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}; \, \,{ \Delta _1}: \, \frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}; \, \) \({ \Delta _2}: \, \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}. \) Đường thẳng \( \Delta \) vuông góc với \(d \) đồng thời cắt \({ \Delta _1}, \,{ \Delta _2} \) tương ứng tại \(H, \,K \) sao cho độ dài \(HK \) nhỏ nhất. Biết rằng \( \Delta \) có một vecto chỉ phương \( \overrightarrow u = \left( {h; \,k; \,1} \right). \) Giá trị của \(h - k \) bằng:
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Giả sử \(H\left( {3 + 2t;\,\,t;\,\,1 + t} \right) \in {\Delta _1},\,\,K\left( {1 + t';\,\,2 + 2t';\,\,t'} \right) \in {\Delta _2}\) ta có: \(\overrightarrow {HK} = \left( {t' - 2t - 2;\,\,2t' - t + 2;\,\,t' - t - 1} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Vì \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {HK} \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow t' - 2t - 2 + 2t' - t + 2 - 2\left( {t' - t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t' - t + 2 = 0 \Leftrightarrow t' = t - 2\end{array}\)
Ta có \( \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right) \Rightarrow H{K^2} = {\left( {t + 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + 9\)
\( \Leftrightarrow H{K^2} = 2{t^2} + 4t + 29 = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27\)
\( \Leftrightarrow H{K_{\min }} = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow t = - 1\). Khi đó \(\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)//\left( {1;1;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTCP \( \Rightarrow h = k = 1\).
Vậy \(h - k = 1 - 1 = 0\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
