Trong không gian Oxyz cho 3 điểmA( 0;0;-1 )B( -1;1;0 )C( 1;0;1 ). Tìm điểm M sao cho 3MA^2+2MB^2-MC
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian Oxyz, cho 3 điểm\(A\left( 0;0;-1 \right),B\left( -1;1;0 \right),C\left( 1;0;1 \right)\). Tìm điểm M sao cho \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=4M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\,\)
*) Ta xác định tọa độ điểm I sao cho :
\(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( { - {x_I}; - {y_I}; - 1 - {z_I}} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;1} \right)\\\overrightarrow {AC} = (1;0;2)\end{array}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_I} = - \frac{1}{2}.( - 1) + \frac{1}{4}.1\\ - {y_I} = - \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{4}.0\\ - 1 - {z_I} = - \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{4}.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - \frac{3}{4}\\{y_I} = \frac{1}{2}\\{z_I} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\)
*) Với I xác định như trên, ta có: \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}=4M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\ge 3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\)
Như vậy, \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}\) khi và chỉ khi M trùng \(I\left( -\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1 \right)\)
Vậy, \(M\left( -\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1 \right)\)
Chọn: D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
