Trong không gian ho hai điểm AB cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm m
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian ho hai điểm \(A,B\) cố định và độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm \(m\) sao cho \(MA = 3MB\) là một mặt cầu. Bán kính của mặt cầu bằng:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(MA = 3MB \Leftrightarrow M{A^2} - 9M{B^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\).
Ta tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = 9\overrightarrow {IB} \).
Đặt \(IB = x \Rightarrow IA = 9x\) \( \Rightarrow 4 = AB = IA - IB = 9x - x = 8x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Do đó \(IA = \dfrac{9}{2},IB = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó \({\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 9{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} - 9\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow M{I^2} + I{A^2} - 9M{I^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow - 8M{I^2} + I{A^2} - 9I{B^2} = 0\)
\( \Rightarrow - 8M{I^2} + {\left( {\dfrac{9}{2}} \right)^2} - 9.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow - 8M{I^2} = - 18 \Leftrightarrow M{I^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\).
Vậy \(M\) nằm trên mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(MI = \dfrac{3}{2}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.