Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0;pi )của phương trình căn 2cos 3x=sthuộc ,x+cos x.
Câu hỏi
Nhận biếtTính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi )\)của phương trình \(\sqrt{2}\cos 3x=\sin \,x+\cos x\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \cos 3x = \sin \,x + \cos x \Leftrightarrow \cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \,x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x \Leftrightarrow \cos 3x = \sin \frac{\pi }{4}.\sin \,x + \cos \frac{\pi }{4}.\cos x\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = - x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,\,k \in \end{array}\)
Mà \(x\in (0;\pi )\):
*) Xét họ nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}:\)
\(0<-\frac{\pi }{8}+k\pi <\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{8}
*) Xét họ nghiệm \(x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}:\)
\(0 < \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2} < \pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{16}} < k\frac{\pi }{2} < \frac{{15\pi }}{{16}} \Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{15}}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{16}}\\k = 1 \Rightarrow x = \frac{{9\pi }}{{16}}\end{array}\)
Tổng các nghiệm thỏa mãn là: \(\frac{7\pi }{8}+\frac{\pi }{16}+\frac{9\pi }{16}=\frac{3\pi }{2}\).
Chọn: C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.