Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2pi ) của phương trình sin ^4x2+cos ^4x2=58.
Câu hỏi
Nhận biếtTính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\) của phương trình \({{\sin }^{4}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \({{\sin }^{4}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}\Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\frac{x}{2} \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}.{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x=\frac{5}{8}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{4}\left( 1-\cos 2x \right)=\frac{5}{8} \\ & \Leftrightarrow \cos 2x=-\,\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ & \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}. \\ \end{align}\)
Mà \(x\in \left( 0;2\pi \right)\) nên \(0<\pm \,\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \)\(\Rightarrow x=\left\{ \frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3} \right\}.\)
Vậy tổng các nghiệm cần tính là \(\sum{x}=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}=\frac{12\pi }{3}=4\pi .\)
Chọn B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
