Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn ( C ) có phương trình x^2+( y-2 )^2=1 khi quanh trục Ox.
Câu hỏi
Nhận biếtTính thể tích hình xuyến do quay hình tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\) khi quanh trục \(Ox.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\) có tâm \(I\left( 0;2 \right),\) bán kính \(R=1.\) Như vậy
Nửa \(\left( C \right)\) trên ứng với \(2\le y\le 3\) có phương trình \(y={{f}_{1}}\left( x \right)=2+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( -\,1;1 \right).\) Nửa \(\left( C \right)\) dưới ứng với \(1\le y\le 2\) có phương trình \(y={{f}_{2}}\left( x \right)=2-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( -\,1;1 \right).\)
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là
\(V=\pi \int\limits_{-\,1}^{1}{\left( {{\left( 2+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( 2-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}x}=8\pi \int\limits_{-\,1}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}.\)
Đặt \(x=\sin t\Leftrightarrow \text{d}x=\cos t\,\text{d}t\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=-\,1\,\Rightarrow \,t=-\frac{\pi }{2} \\ & x=1\,\Rightarrow \,t=\frac{\pi }{2} \\\end{align} \right..\)
Khi đó \(V=8\pi \int\limits_{-\,\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{{{\cos }^{2}}t}.\cos t\,\text{d}t}=4\pi \int\limits_{-\,\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)\,\text{d}t}=4\pi \left. \left( t+\frac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{-\,\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=4{{\pi }^{2}}.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.