Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 1 3x^3 + ( m - 1 )x^2 + ( 2m + 1 )x + m đồng biến trên k
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + m\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)?\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
TXĐ: D = R.
Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Leftrightarrow f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}} \ge - 2m\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Rightarrow - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) \cr} \)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}}\) trên \(\left( {0;3} \right)\) ta có:
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = {{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x - 1} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x - 3} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \cr x = - 3 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \cr} \right. \cr & f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 0;\,\,f\left( 3 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = 0 \cr & \Rightarrow - 2m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0 \cr} \)
Khi \(m = 0\) ta có \(y' = {x^2} - 2x + 1 = 0\, \Leftrightarrow y'= (x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow\) hàm số đồng biến.
Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\) thì \(m \ge 0\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.