Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để có đúng \(4\) số phức \(z\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|\) và \(\left| z \right| = m\)?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\) ta có:
\(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| {2a} \right| + \left| {2b} \right| = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\).
Lại có \(\left| z \right| = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\{a^2} + {b^2} = {m^2}\end{array} \right.\).
Do đó bài toán trở thành tìm \(m \ge 0\) để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\\{a^2} + {b^2} = {m^2}\end{array} \right.\) có đúng \(4\) nghiệm phân biệt \(\left( {a;b} \right)\).
Nhận xét: Nếu hệ trên nhận một cặp số \(\left( {a;b} \right)\) làm nghiệm thì nó cũng nhận các cặp số \(\left( {a; - b} \right),\left( { - a;b} \right),\left( { - a; - b} \right),\left( {b;a} \right),\left( {b; - a} \right),\left( { - b;a} \right),\left( { - b; - a} \right)\) làm nghiệm.
Do đó để hệ có đúng bốn nghiệm phân biệt \(\left( {a;b} \right)\) thì các nghiệm chỉ có thể thỏa mãn: Một trong hai số \(a,b\) bằng \(0\) và số còn lại khác \(0\) hoặc hai số \(a,b\) thỏa mãn \(\left| a \right| = \left| b \right| \ne 0\).
Ta chia làm hai trường hợp:
+) TH1: Nếu hệ có nghiệm thỏa mãn \(a = 0\) hoặc \(b = 0\) thì \(m = 2\) (dễ dàng kiểm tra bằng cách thay \(a = 0\) hoặc \(b = 0\) vào hệ.
Thử lại: \(m = 2\) thì hệ trở thành:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\\{a^2} + {b^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow 4 = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) \Leftrightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2\left| {ab} \right| = 4\\ \Leftrightarrow 4 + 2\left| {ab} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {ab} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu \(a = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 2\left| b \right|\\{b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow b = \pm 2\).
Nếu \(b = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 2\left| a \right|\\{a^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \pm 2\).
Khi đó hệ có đúng \(4\) nghiệm \(\left( {0;2} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( { - 2;0} \right),\left( {2;0} \right)\) nên \(m = 2\) thỏa mãn.
+) TH2: Nếu hệ có nghiệm thỏa mãn \(\left| a \right| = \left| b \right| \ne 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2{a^2} = 4\left| a \right|\\2{a^2} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = 2\\{m^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\m = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = \pm 2\\m = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).
Do đó \(m = 2\sqrt 2 \) và hệ có đúng \(4\) nghiệm \(\left( {2;2} \right),\left( { - 2; - 2} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( { - 2;2} \right)\).
Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) là \(\left\{ {2;2\sqrt 2 } \right\}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.