Nếu đặt x = tan t thì nguyên hàm I = int dx căn 1 + x^2 bằng
Câu hỏi
Nhận biếtNếu đặt \(x = \tan t\) thì nguyên hàm \(I = \int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}} \) bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(x = \tan t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \dfrac{{{\rm{d}}t}}{{{{\cos }^2}t}}\) và \(\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}t} }} = \cos t.\)
Khi đó \(\int {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } \int {\cos t.\dfrac{{{\rm{d}}t}}{{{{\cos }^2}t}}} = \int {\dfrac{{\cos t}}{{1 - {{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {\sin t} \right)}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \)
\(\begin{array}{l}
= \int {\frac{{{\rm{d}}u}}{{1 - {u^2}}}} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right){\rm{d}}u} \\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 - u}}} \right| + C\\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C
\end{array}\)
với \(u = \sin t.\)
Vậy nguyên hàm \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C.\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.