Một bác thợ muốn chế tạo một chiếc thùng đựng nước hình trụ mặt xung quanh của thùng nước được cuộn
Câu hỏi
Nhận biếtMột bác thợ muốn chế tạo một chiếc thùng đựng nước hình trụ, mặt xung quanh của thùng nước được cuộn từ những tấm nhôm hình chữ nhật có chu vi 4,8m. Hỏi bác thợ phải chọn tấm tôn có kích thước như thế nào để chiếc thùng đựng được nhiều nước nhất?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi chiều dài của tấm tôn là x (m) (ĐK : \(1,2 \le x < 2,4\)) ta có chiều rộng của tấm tôn là \(2,4 - x\,\,\left( m \right)\).
Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.
TH1: Hình trụ có chiều cao bằng \(2,4 - x\) và chu vi đáy bằng x
\( \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{x}{{2\pi }}\)
\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{x}{\pi }} \right)^2}.\left( {2,4 - x} \right) = \frac{1}{\pi }{x^2}\left( {2,4 - x} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {2,4 - x} \right) = 2,4{x^2} - {x^3}\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)\) ta có
\(f'\left( x \right) = 4,8x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 1,6 \in \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.\)
\(f\left( {1,6} \right) = 2,048 \Rightarrow {f_{\max }} = f\left( {1,6} \right) = 2,048\)
\( \Rightarrow \) Chiều dài và chiều rộng của tấm tôn lần lượt là 1,6m và 0,8m
TH2 : Hình trụ có chiều cao bằng x và chu vi đáy bằng \(2,4 - x\)
\( \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{2,4 - x}}{{2\pi }}\)
\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{{2,4 - x}}{\pi }} \right)^2}x = \frac{1}{\pi }{\left( {2,4 - x} \right)^2}x\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2,4 - x} \right)^2} = {x^3} - 4,8{x^2} + 5,76x\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)\) ta có
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 9,6x + 5,76 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,4 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 0,8 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.\)
Vậy trường hợp này không thỏa mãn.
Chọn đáp án B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
