Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60^circ AB=a. Thể t
Câu hỏi
Nhận biếtLăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có góc giữa hai mặt phẳng \((A’BC)\) và \((ABC)\) bằng \(60{}^\circ \), \(AB=a\). Thể tích khối đa diện \(ABCC’B’\) bằng:
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Lấy M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên \(AM\bot BC\).
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A’C=A’B. Trong tam giác cân A’BC thì \({A}'M\bot BC\).
Từ đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'M \subset \left( {A'BC} \right)\\BC \bot AM \subset \left( {ABC} \right)\\A'M \cap AM = \left\{ M \right\}\end{array} \right.\)suy ra góc giữa (A’BC) và (ABC) là góc giữa AM và A’M\(\Rightarrow \widehat{{A}'MA}=60{}^\circ \).
Xét tam giác ABC đều cạnh a có AM là trung tuyến cũng là đường cao, theo Pytago ta tính được \(AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Xét tam giác A’AM vuông tại A, có \(A{A}'=AM.\tan \,\widehat{{A}'MA}=AM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}\).
\(\Rightarrow C{C}'=A{A}'=\dfrac{3a}{2},BC=a,AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot CC'\,\left( {{\rm{do}}\,\,CC' \bot\left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
\(\Rightarrow {{V}_{A.BC{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{3}AM.{{S}_{BC{C}'{B}'}}\). Mà \(BC{C}'{B}'\) là hình chữ nhật nên \({{S}_{BC{C}'{B}'}}=BC.C{C}'=a.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}\).
\(\Rightarrow {{V}_{A.BC{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
