Hàm số y = ( x + m )^3 + ( x + n )^3 - x^3(tham số m,n) đồng biến trên
Câu hỏi
Nhận biếtHàm số \(y = { \left( {x + m} \right)^3} + { \left( {x + n} \right)^3} - {x^3} \)(tham số \(m,n \)) đồng biến trên khoảng \( \left( {- \infty ; + \infty } \right) \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4 \left( {{m^2} + {n^2}} \right) - m - n \) bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cách giải
Có \(y' = 3{\left( {x + m} \right)^2} + 3{\left( {x + n} \right)^2} - 3{x^2} = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2}} \right]\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + n} \right)^2} - \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} \ge {\left( {m + n} \right)^2}\end{array}\)
Khi đó ta có \(P \geqslant 4{\left( {m + n} \right)^2} - \left( {m + n} \right) = {\left( {2m + 2n - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{1}{{16}} \geqslant - \dfrac{1}{{16}}\)
Chọn đáp án A
Kiểm tra thấy dấu “=” xảy ra
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {\left( {m + n} \right)^2}\\m + n = \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = \dfrac{1}{8}\\mn = 0\end{array} \right.\)
(tồn tại \(m,n\) thỏa mãn)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.