Gọi ( P ) là đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = mx^4 - ( m^2 + 1 )x^2 + m^2
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \(\left( P \right)\) là đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = m{x^4} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + {m^2} - m + 1\) và \(A,B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục hoành. Khi \(AB = 2,\) mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Hàm số \(y = m{x^4} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + {m^2} - m + 1\) có ba điểm cực trị khi \(m\left( {{m^2} + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Ta có \(y' = 4m{x^3} - 2\left( {{m^2} + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2m{x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right.\) .
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} - m + 1\\x = \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} \Rightarrow y = - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1\\x = - \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} \Rightarrow y = - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1\end{array} \right.\)
Hay \(M\left( {0;{m^2} - m + 1} \right);N\left( {\sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} ; - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1} \right);P\left( { - \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} ; - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1} \right)\)
Là ba điểm cực trị của hàm số đã cho.
Parabol đi qua ba điểm \(M,N,P\) có đỉnh là \(M\left( {0;{m^2} - m + 1} \right) \in Oy.\)
\( \Rightarrow \left( P \right)\) có phương trình \(y = a{x^2} + {m^2} - m + 1\).
Lại có \(N \in \left( P \right) \Rightarrow - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1 = a.\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} + {m^2} - m + 1 \Rightarrow a = - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}\)
Suy ra \(\left( P \right):y = - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}{x^2} + {m^2} - m + 1\) cắt trục hoành tạ hai điểm \(A\left( {{x_A};0} \right);B\left( {{x_B};0} \right)\) với \({x_A},{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \( - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}{x^2} + {m^2} - m + 1 = 0\).
Theo bài ra ta có \(AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} = 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4.\frac{{2m\left( {{m^2} - m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{2m\left( {{m^2} - m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow 2{m^3} - 2{m^2} + 2m = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 2{m^3} - 3{m^2} + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\left( {tm} \right)\end{array}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.