Gọi Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin ^3x + cos 2x + sin x + 2
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \(M,\)\(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^3}x + \cos 2x + \sin x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\). Đặt \(P = M - m\). Khi đó, khẳng định nào dưới đây là đúng?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = {\sin ^3}x + \cos 2x + \sin x + 2\\ = {\sin ^3}x + \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2\\ = {\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x + \sin x + 3\end{array}\)
Đặt \(t = \sin x\), \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t = \sin x \in \left[ {0;1} \right]\)
Khi đó, hàm số trên trở thành \(f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + t + 3\)
Xét hàm số
\(f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + t + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t + 1 = \left( {3t - 1} \right)\left( {t - 1} \right)\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 3;\) \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{85}}{{27}}\); \(f\left( 1 \right) = 3\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{85}}{{27}}\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) = 3\end{array}\)
Do đó \(P = M - m = \dfrac{4}{{27}} \Leftrightarrow 0 < P < 1\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.