Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với
Câu hỏi
Nhận biếtĐể chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết rằng (a=24) và (b=3) , hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm \(B,\,\,M,\,\,C\) (hình vẽ dưới).
Suy ra độ dài thanh sào là \(L=BM+MC=\frac{BH}{\sin \widehat{BHM}}+\frac{CK}{\sin \widehat{CMK}}\)
Đặt \(\widehat{BMH}=x\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{CMK}={{90}^{0}}-x,\) do đó \(L=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}.\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \,\,{{L}_{\min }}\Leftrightarrow \,\,f\left( x \right)=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}\) min.
Ta có \({f}'\left( x \right)=\frac{3\sin x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{24\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=0\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x=8{{\cos }^{3}}x\Leftrightarrow \tan x=2.\)
\(\Rightarrow \,\,\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}x}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}x}=\frac{2}{\sqrt{5}}.\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} f\left( x \right) = 15\sqrt 5 .\) Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là \(15\sqrt{5}.\)
Chọn C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.