Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình [ ( m - 1
Câu hỏi
Nhận biếtCó bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m \) để bất phương trình \( \left[ { \left( {m - 1} \right){4^x} - \dfrac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1} \right] \left( {x - {4^{1 - x}}} \right) \ge 0 \) nghiệm đúng với mọi \(x \) thuộc \( \left[ {0;1} \right) \).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét \(f\left( x \right) = x - {4^{1 - x}}\) trên \(\left[ {0;1} \right)\), có \(f'\left( x \right) = 1 + {4^{1 - x}}\ln 4 > 0,\,\forall x \in \)\(\left[ {0;1} \right) \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right)\)
Mà \(f\left( 0 \right) = - 4,\,f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \) Tập giá trị của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right)\) là: \(\left[ { - 4;0} \right) \Rightarrow \)\(x - {4^{1 - x}} < 0,\)\(\forall x \in \)\(\left[ {0;1} \right)\)
Khi đó, bất phương trình
\(\left[ {\left( {m - 1} \right){4^x} - \dfrac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1} \right]\left( {x - {4^{1 - x}}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){4^x} - \dfrac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1 \le 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {{4^x} + 2} \right) \le {4^x} + \dfrac{2}{{{4^x}}} - 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{4^{2x}} - {4^x} + 2}}{{{4^{2x}} + {{2.4}^x}}}\)
Với \(x \in \)\(\left[ {0;1} \right)\) thì \({4^x} \in \left[ {1;4} \right)\). Xét hàm số \(g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t + 2}}{{{t^2} + 2t}},\,t \in \left[ {1;4} \right)\), có
\(g'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 1} \right)\left( {{t^2} + 2t} \right) - \left( {2t + 2} \right)\left( {{t^2} - t + 2} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 2t} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{t^2} - 4t - 4}}{{{{\left( {{t^2} + 2t} \right)}^2}}}\), \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
Hàm số \(g\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;4} \right)\), có \(g\left( 1 \right) = \dfrac{2}{3},\,g\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2},\,\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } g\left( t \right) = 1\)
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(g\left( t \right)\) trên \(\left[ {1;4} \right)\) là: \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)\)
Vậy, để bất phương trình đã cho đúng với mọi x thuộc \(\left[ {0;1} \right)\) thì \(m \le \dfrac{1}{2}\).
Mà m là số nguyên dương, nên không tồn tại giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
