Cho x,,,y là các số thực thỏa mãn ( x - 3 )^2 + ( y - 1 )^2 = 5. Tìm
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x, \, \,y \) là các số thực thỏa mãn \({ \left( {x - 3} \right)^2} + { \left( {y - 1} \right)^2} = 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}} \).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5 = 0\).
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}} = \dfrac{{\left( {3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5} \right)}}{{x + 2y + 1}}\\P = \dfrac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2} + x + 2y + 4}}{{x + 2y + 1}} = \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + 3}}{{\left( {x + 2y} \right) + 1}} + 1\end{array}\)
Đặt \(t = x + 2y\) ta có \(P = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}} + 1 = f\left( t \right)\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {x - 3 + 2y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 \ge {\left( {x + 2y - 5} \right)^2} \Leftrightarrow \left| {x + 2y - 5} \right| \le 5\\ \Leftrightarrow - 5 \le x + 2y - 5 \le 5 \Leftrightarrow 0 \le x + 2y \le 10 \Leftrightarrow 0 \le t \le 10\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}} + 1\) với \(t \in \left[ {0;10} \right]\) ta có:
\(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t\left( {t + 1} \right) - {t^2} - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\)
BBT :
Từ BBT ta có \(\min f\left( t \right) = 3 \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy \({P_{\min }} = 3 \Leftrightarrow x + 2y = 1\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
