Cho x;y là các số thực thỏa mãn log 4( x + y ) + log 4( x - y ) ge 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\)
ĐK: \(x > y;x > - y \Rightarrow x > \left| y \right|.\)
Suy ra \({\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \) (vì \(x > 0\))
Lại có \(P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - \left| y \right|\)
Đặt \(t = \left| y \right| \ge 0\)
Xét \(f\left( t \right) = 2\sqrt {{t^2} + 4} - t\) có \(f'\left( t \right) = 2\dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Rightarrow 2t = \sqrt {{t^2} + 4} \Rightarrow 3{t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Từ BBT suy ra \(\min f\left( t \right) = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Suy ra \(P \ge 2\sqrt 3 \) hay GTNN của \(P\) là \(2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }};y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }};y = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.