Cho tứ diện đều ABCD. Gọi varphi là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCD ). Tính cos varphi
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Tính \(\cos \varphi \).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O là tâm của tam giác đều BCD; I, J lần lượt là trung điểm của CD, BC; độ dài các cạnh của tứ diện ABCD là a.
Do ABCD là tứ diện đều nên \(AO \bot \left( {BCD} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AB;\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AB;BO} \right)} = \widehat {ABO}\)
\(\Delta BCD\) đều \( \Rightarrow BI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Delta ABO\) vuông tại O\( \Rightarrow \cos \widehat {ABO} = \dfrac{{BO}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \widehat {\left( {AB;\left( {BCD} \right)} \right)} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn: D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.