Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi MN lần lượt là trung điểm của ABCD. Tính khoảng
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BN,\,\,CM\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(IK \bot MH\)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow AG \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\), kẻ đường thẳng song song với \(BN\) cắt \(BD\) tại \(E\), ta có: \(BN\parallel \left( {MCE} \right) \supset CM\).
\( \Rightarrow d\left( {BN;CM} \right) = d\left( {BN;\left( {MCE} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BG\), ta có \(MI\parallel AG\) (tính chất đường trung bình) \( \Rightarrow MI \bot \left( {BCD} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\) kẻ \(IH \bot CE\,\,\left( {H \in CE} \right)\), trong \(\left( {MIH} \right)\) kẻ \(\left( {K \in MH} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot IH\\CE \bot MI\,\,\left( {MI \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow CE \bot \left( {MIH} \right) \Rightarrow CE \bot IK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot CE\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {MCE} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {MCE} \right)} \right) = IK = d\left( {BN;\left( {MCE} \right)} \right) = d\left( {BN;CM} \right)\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABG\) có: \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\( \Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có: \(IH \bot CE,\,\,CE\parallel BN,\,\,BN \bot CD\)\( \Rightarrow IH\parallel CD\) hay \(IH\parallel CN\) .
Tứ giác \(INCH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}IH\parallel CN\\IN\parallel CH\end{array} \right.\) nên \(INCH\) là hình bình hành, do đó \(IH = CN = \dfrac{a}{2}\).
Vì \(MI \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(MI \bot IH\), suy ra tam giác \(MIH\) vuông tại \(I\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(IK = \dfrac{{MI.IH}}{{\sqrt {M{I^2} + I{H^2}} }}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\).
Vậy \(d\left( {BN;CM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
