Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a ( S ) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD M
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng \(a\), \(\left( S \right)\) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD, M là điểm thay đổi trên \(\left( S \right)\). Tính tổng \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\)tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) là trọng tâm của tứ diện (hay trung điểm đường nối hai trung điểm của hai cạnh chéo nhau).
Đặc biệt hóa điểm \(M\) chạy trên mặt cầu \(\left( S \right)\) là tiếp điểm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và cạnh \(AD\).
Ta có theo công thức đường trung tuyến ta có \(M{{C}^{2}}=M{{B}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}{2}-\frac{A{{D}^{2}}}{4}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\)
Nên \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}+2.\frac{3{{a}^{2}}}{4}=2{{a}^{2}}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.