Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng căn 11. Gọi I là trung điểm cạn
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt{11}.\) Gọi I là trung điểm cạnh \(CD\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O là tâm của tam giác đều BCD \(\Rightarrow AO\bot \left( BCD \right)\). Gọi cạnh của tứ diện đều bằng a.
Kẻ đường thẳng song song với BI cắt BD tại F ta có CF // BI \(\Rightarrow BI//\left( ACF \right)\)
\(\Rightarrow d\left( AC;BI \right)=d\left( BI;\left( ACF \right) \right)=d\left( O;\left( ACF \right) \right)\)
Ta có \(BI\bot CD;\,\,CF//BI\Rightarrow CF\bot CD\)
Qua O kẻ đường thẳng song song với CD, cắt CF tại E ta có \(OE//CD\Rightarrow OE\bot CF\)
\(\left\{ \begin{align} CF\bot OE \\ CF\bot AO \\ \end{align} \right.\Rightarrow CF\bot \left( AOE \right)\)
Trong (AOE) kẻ \(OH\bot \left( AE \right)\Rightarrow OH\bot CF\Rightarrow OH\bot \left( ACF \right)\Rightarrow d\left( O;\left( ACF \right) \right)=OH\)
Dễ thấy OICE là hình chữ nhật \(\Rightarrow OE=CI=\frac{a}{2}\).
\(OB=\frac{2}{3}BI=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Xét tam giác vuông AOE có \(OH=\sqrt{\frac{O{{A}^{2}}.O{{E}^{2}}}{O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\frac{\sqrt{22}a}{11}=\frac{\sqrt{22}.\sqrt{11}}{11}=\sqrt{2}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
