Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, ngu
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow DG \bot \left( {ABC} \right)\)
Giả sử tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là trung điểm của BC.
Tam giác ABC đều nên \(AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(DG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \Delta DAG\) vuông tại G\( \Rightarrow DG = \sqrt {D{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DG.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Vì tứ diện đều ABCD cạnh 8 nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{8^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\)
Tứ diện đều FAHI cạnh x nên \({V_1} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Tương tự ta có: \({V_2} = {V_3} = {V_4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
\( \Rightarrow \)Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là \(V = {V_{ABCD}} - 4{V_1}\)\( = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} - 4\dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3}\)
Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD nên ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow 128 - {x^3} = 96\\ \Leftrightarrow {x^3} = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{32}} = 2\sqrt[3]{4}\end{array}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.