Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB và CD lần lượt l
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều \(ABCD \) có cạnh bằng \(1 \). Trên các cạnh \(AB \) và \(CD \) lần lượt lấy các điểm \(M \) và \(N \) sao cho \( \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{0} \) và \( \overrightarrow{NC}=-2 \overrightarrow{ND} \). Mặt phẳng \( \left( P \right) \) chứa \(MN \) và song song với \(AC \) chia khối tứ diện \(ABCD \) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A \) có thể tích là \(V \). Tính \(V \).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Từ \(N\) kẻ \(NP\text{//}AC\), \(N\in AD\).
Qua \(M\) kẻ \(MQ\text{//}AC\), \(Q\in BC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(MPNQ\)
Ta có \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\) và \(V={{V}_{ACMPNQ}}={{V}_{AMPC}}+{{V}_{MQNC}}+{{V}_{MPNC}}\)
Lại có \({{V}_{AMPC}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AD}.{{V}_{ABCD}}\)\(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD}}\) \({{V}_{MQNC}}=\frac{1}{2}{{V}_{AQNC}}=\frac{1}{2}\frac{CQ}{CB}.\frac{CN}{CD}.{{V}_{ABCD}}\)\(=\frac{1}{2}\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}\) \({{V}_{MPNC}}=\frac{2}{3}{{V}_{MPCD}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}{{V}_{MACD}}\)\(=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}\frac{AM}{AB}.{{V}_{ABCD}}\)\(=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{9}{{V}_{ABCD}}\)
Vậy \(V=\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9} \right){{V}_{ABCD}}\)\(\Rightarrow V=\frac{11}{18}{{V}_{ABCD}}=\frac{11\sqrt{2}}{216}\).
Chọn B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
