Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; O là trọng tâm của ABC, G là giao điểm của DO và IJ.
* Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD:
Các tam giác ABC, ABD đều và bằng nhau, suy ra các đường cao tương ứng \(DI=IC\).
\(\Rightarrow \Delta DIC\)cân tại I
Mà IJ là trung tuyến \(\Rightarrow IJ\bot CD\) (1)
Ta có: \(IC\bot AB\) (vì tam giác ABC đều), \(DO\bot AB\,\)(vì \(DO\bot (ABC)\)
\(\Rightarrow AB\bot (DIC)\Rightarrow AB\bot IJ\) (2)
Từ (1), (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD \(\Rightarrow d(AB,\,CD)=IJ\)
* Tính IJ:
Tam giác ABC đều, cạnh a \(\Rightarrow IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
J là trung điểm CD \(\Rightarrow JC=\frac{a}{2}\)
Tam giác IJC vuông tại J \(\Rightarrow I{{C}^{2}}=I{{J}^{2}}+J{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=I{{J}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow IJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Chọn: B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.