Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB = AC = AD = BC = BD = a và CD = a căn 2 . Góc giữa hai đường
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện \(ABCD\) có độ dài các cạnh \(AB = AC = AD = BC = BD = a\) và \(CD = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tam giác \(BCD\) có: \(B{C^2} + B{D^2} = C{D^2} = 2{a^2} \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại \(B\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).
Có \(AB = AC = AD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\) dựng hình bình hành \(BCDE\) ta có
\(BC//DE \Rightarrow \angle \left( {BC;AD} \right) = \angle \left( {DE;AD} \right)\).
Tam giác \(BCD\) cân tại \(B \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle CBD\)
\( \Rightarrow \angle HBD = {45^0}\).
Có \(BE//CD \Rightarrow \angle DBE = \angle BDC = {45^0}\)
\( \Rightarrow \angle HBE = \angle HBD + \angle DBE = {90^0} \Rightarrow \Delta BHE\) vuông tại \(B\).
Ta có: \(BH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};\,\,BE = CD = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow EH = \sqrt {B{H^2} + B{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Trong tam giác vuông \(ABH:\,\,AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trong tam giác vuông \(AHE:\,\,AE = \sqrt {A{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{5{a^2}}}{2}} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ADE\) có:
\(\cos \angle ADE = \dfrac{{A{D^2} + E{D^2} - A{E^2}}}{{2AD.ED}} = \dfrac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle ADE = {120^0}\).
Vậy \(\angle \left( {AD;BC} \right) = {60^0}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.