Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, A
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện \(ABCD \) có \(ABC \) là tam giác đều cạnh \(a \), \(AD \) vuông góc với \(BC \), \(AD = a \) và khoảng cách từ \(D \) đến \(BC \) là \(a \). Gọi \(H \) là trung điểm của \(BC \) và \(I \) là trung điểm của \(AH \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD \) và \(BC \) là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì tam giác ABC đều nên \(AH \bot BC\) . Lại có: \(AD \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right)\)
Trong (ADH) kẻ \(HK \bot AD\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(BC \bot \left( {ADH} \right) \supset HK \Rightarrow HK \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của AD và BC
Ta có: \(BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot DH \Rightarrow DH = a = AD \Rightarrow \Delta DAH\) cân tại D
\( \Rightarrow DI \bot AH\,\,\,\left( 1 \right)\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
Ta có: \({S_{\Delta ADH}} = \dfrac{1}{2}DI.AH = \dfrac{1}{2}HK.AD \Rightarrow HK = \dfrac{{DI.AH}}{{AD}}\)
Vì tam giác ABC đều nên \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Xét tam giác vuông ADI có: \(DI = \sqrt {A{D^2} - A{I^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}\)
\( \Rightarrow HK = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{8}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
