Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết \(MN=a \sqrt{3} \), tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AC.
Khi đó MI là đường trung bình trong tam giác ACB
Khi đó \(MI||AB\) và \(MI=\frac{AB}{2}=a\). Tương tự \(IN||CD\) và \(IN=\frac{CD}{2}=a\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}IN||CD\\IM||AB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {IM;IN} \right)}\).
Lại có \(\cos \widehat{MIN}=\frac{M{{I}^{2}}+N{{I}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2.IM.IN}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{MIN}={{120}^{0}}\)
Do vậy \(\widehat{\left( AB;CD \right)}={{60}^{0}}\).
Chọn D.