Cho tích phân0^1 dx^2 + 2x( x + 1 )^3 dx = a + bln 2 với ab là các số hữu tỷ. Giá trị của 16a + b
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b\ln 2\) với \(a,b\) là các số hữu tỷ. Giá trị của \(16a + b\) là
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(t = x + 1 \Rightarrow dt = dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 2\left( {t - 1} \right)}}{{{t^3}}}dt} \\ = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^2} - 2t + 1 + 2t - 2}}{{{t^3}}}dt} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{{t^3}}}dt} = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{t} - {t^{ - 3}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \dfrac{{{t^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right)} \right|_1^2 = \left. {\left( {\ln \left| t \right| + \dfrac{1}{{2{t^2}}}} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} = \ln 2 - \dfrac{3}{8}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{3}{8}\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow 16a + b = - 6 + 1 = - 5\end{array}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.