Cho tích phân0^1 dx e^x + 1 = a + bln 1 + e 2 với ab là các số hữu tỉ. Tính S = a^3 + b^3.
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{e^x} + 1}}} = a + b\ln {{1 + e} \over 2}\) , với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = {a^3} + {b^3}.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến để làm bài này. Chú ý khi đổi biến ta cần đổi cận.
Cách giải.
Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow \left\{ \matrix{ {e^x} = t - 1 \hfill \cr {e^x}dx = dt \Rightarrow dx = {{dt} \over {t - 1}} \hfill \cr} \right.\)
Đổi cận: 
\(\eqalign{ & \Rightarrow I = \int\limits_2^{e + 1} {{{dt} \over {t\left( {t - 1} \right)}} = \int\limits_2^{e + 1} {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over t}} \right)dt = \left. {\ln \left| {{{t - 1} \over t}} \right|} \right|_2^{e + 1}} } \cr & = \ln \left| {{e \over {e + 1}}} \right| - \ln \left| {{1 \over 2}} \right| = \ln e - \ln \left( {e + 1} \right) + \ln 2 = 1 - \ln {{e + 1} \over 2}. \cr} \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{a = 1 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} = 1 - 1 = 0.\)
Chọn C
Mấu chốt của bài toán là cần tìm được nguyên hàm của \({1 \over {{e^x} + 1}}\); từ \((b\ln {{1 + {e^x}} \over 2})' = b{{{e^x}} \over {1 + {e^x}}}\) ta có thể dễ dàng đoán được ra nguyên hàm của hàm số.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.