Cho phương trình ( căn 5+1 )^x+2m( căn 5-1 )^x=2^x. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phươn
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}.\) Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}+2m.{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=1\) \(\left( * \right).\)
Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}>0\) mà \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1\)\(\Rightarrow \)\({{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}.\)
Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{1}{t}+2mt=1\Leftrightarrow 2m=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{2-t}{{{t}^{3}}};\,\,{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.\)
Ta có bảng biến thiên :
Tính \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{4};\,\,\underset{t\,\to \,{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\,\infty \) và \(\underset{t\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=0\)
Do đó, để phương trình \(2m=f\left( t \right)\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \,\,m\le 0;\,\,m=\frac{1}{8}.\)
Chọn B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
