Cho phương trình 2^x = căn m.2^x.cos( pi x ) - 4 với m là tham số thực. Gọi m0 là giá trị của m s
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} ,\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \({m_0}\) là giá trị của \(m\) sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4} \Leftrightarrow {2^{2x}} = m{.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4\) \( \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\)
Trong phương trình \(m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\), nếu ta thay \(x\) bởi \(2 - x\) thì phương trình trở thành:
\(m\cos \left( {2\pi - \pi x} \right) = {2^{2 - x}} + {2^x} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\)
Suy ra \(x\) và \(2 - x\) có vai trò như nhau trong phương trình nên nếu phương trình nhận \({x_0}\) làm nghiệm thì nó cũng nhận \(2 - {x_0}\) làm nghiệm.
Do đó để phương trình có đúng một nghiệm thực thì \({x_0} = 2 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = 1\).
Với \(x = 1\) thì \(m\cos \pi = {2^1} + {2^1} \Leftrightarrow m = - 4\).
Thử lại,
Với \(m = - 4\) ta có: \({2^x} = \sqrt { - {{4.2}^x}.\cos \left( {\pi x} \right) - 4} \,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \( - {4.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {2^x}\cos \left( {\pi x} \right) + 1 \le 0\).
Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {2^{2x}} = - {4.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \Leftrightarrow {2^x} = - 4\cos \left( {\pi x} \right) - {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^x} + {2^{2 - x}} = - 4\cos \left( {\pi x} \right)\).
Ta thấy: \({2^x} + {2^{2 - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{2 - x}}} = 4\) và \(\cos \left( {\pi x} \right) \ge - 1 \Rightarrow - 4\cos \left( {\pi x} \right) \le 4\).
Suy ra \({2^x} + {2^{2 - x}} = 4 = - 4\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy với \(m = - 4\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Kiểm tra các đáp án ta thấy A thỏa mãn.
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
