Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đườ
Câu hỏi
Nhận biếtCho lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\), cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\). Tìm \(x\) để góc tạo bởi đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
Khi đó ta có: \({D_1}\left( {0;0;0} \right),\,\,{B_1}\left( {1;1;0} \right),\,\,D\left( {0;0;x} \right),\,\,C\left( {1;0;x} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ;\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x; - x; - 1} \right)\) là VTPT.
Đường thẳng \({B_1}D\) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - x} \right)\) là vectơ chỉ phương.
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) suy ra:
\(\begin{array}{l}\sin \varphi = \dfrac{{\left| {x - x + x} \right|}}{{\sqrt {{x^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)} }}\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt {\left( {2x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) + 5} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {2.2\sqrt {{x^2}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} + 5} }} = \dfrac{1}{3}\end{array}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1\).
Góc \(\varphi \) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \varphi \) lớn nhất \( \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy góc tạo bởi đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 1\).
Chọn D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.