Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = AA' = a. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BC' và
Câu hỏi
Nhận biếtCho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AA' = a\). Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(AC\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(AC\parallel A'C'\), do đó \(AC\parallel \left( {A'BC'} \right) \supset BC'\).
Suy ra \(d\left( {BC';AC} \right) = d\left( {AC;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BC'} \right)} \right)\).
Gọi \(O = AB' \cap A'B\) ta có: \(\dfrac{{d\left( {A;\left( {A'BC'} \right)} \right)}}{{d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right)}} = \dfrac{{AO}}{{B'O}} = 1\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'C'\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'M\\A'C' \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot \left( {BB'M} \right)\).
Trong \(\left( {BB'M} \right)\) kẻ \(B'H \bot BM\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'H \bot BM\\B'H \bot A'C'\,\,\left( {A'C' \bot \left( {BB'M} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B'H \bot \left( {A'BC'} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right) = B'H\).
Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(B'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BB'M\) ta có:
\(B'H = \dfrac{{BB'.B'M}}{{\sqrt {BB{'^2} + B'{M^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.