Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông AB = BC = a cạnh bên AA' = a căn 2 . Gọi M là
Câu hỏi
Nhận biếtCho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, \(AB = BC = a\), cạnh bên \(AA' = a\sqrt 2 \). Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa AM và B’C.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo giả thiết \(\Delta ABC\) vuông cân tại B \( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = a\sqrt 2 .\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^3}\).
Gọi D là trung điểm của BB’ ta có:
\(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {ADM} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ADM} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ADM} \right)} \right)\).
Quan sát khối chóp D.ABM khối chóp này có thể tích là :
\({V_{D.ABM}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Ta có : \(AD = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6};\,\,DM = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,AM = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Do đó \({S_{\Delta AMD}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - MD} \right)\left( {p - AD} \right)} \,\,\left( {p = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt {14} }}{8}\)
Vậy \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'\left( {ADM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{D.ABM}}}}{{{S_{\Delta ADM}}}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.