Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng căn 2 a. Gọi M là trung điểm AB. Tính
Câu hỏi
Nhận biếtCho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\). Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng \(\left( {A'C'M} \right)\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AC\).
Ta có \(\left( {A'C'M} \right)\) chứa \(A'C'//AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right)\) cắt \(ABC\) theo giao tuyến là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).
Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng \(\left( {A'C'M} \right)\) là tứ giác \(A'C'NM\).
Ta có \(MN//AC//A'C' \Rightarrow A'C'NM\) là hình thang.
Xét \(\Delta A'AM\) và \(\Delta C'CN\) có:
\(A'A = C'C,\,\,\angle A'AM = \angle C'CM = {90^0};\,\,AM = CN = \dfrac{a}{2}\)
\( \Rightarrow \Delta A'AM = \Delta C'CN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'M = C'N\).
Dễ dàng nhận thấy \(A'M\) và \(C'N\) không song song nên \(A'C'NM\) là hình thang cân.
Có \(A'C' = a;\,\,MN = \dfrac{a}{2}\).
Kẻ \(MH \bot A'C'\,\,\left( {H \in A'C'} \right);\,\,NK \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)\) ta có \(MNKH\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow MN = HK = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow A'H = C'K = \dfrac{{A'C' - HK}}{2} = \dfrac{{a - \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\).
Xét tam giác vuông \(A'AM\) có \(A'M = \sqrt {A'{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {2{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{3a}}{2}\)
Xét tam giác vuông \(A'MH\) có : \(MH = \sqrt {A'{M^2} - A'{H^2}} = \dfrac{{9{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{4}\).
Vậy \({S_{A'C'NM}} = \dfrac{1}{2}\left( {A'C' + MN} \right).MH = \dfrac{1}{2}\left( {a + \dfrac{a}{2}} \right).\dfrac{{a\sqrt {35} }}{4} = \dfrac{{3\sqrt {35} {a^2}}}{{16}}\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
