Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi E,,F,,G lần lượt là trung điểm BC,,BD,,CD và M,,N,,P,,Q
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối tứ diện (ABCD) có thể tích là (V). Gọi (E,,,F,,,G) lần lượt là trung điểm (BC,,,BD,,,CD) và (M,,,N,,,P,,,Q) lần lượt là trọng tâm (Delta ABC,,,Delta ABD,,,Delta ACD,,,Delta BCD). Tính thể tích khối tứ diện (MNPQ) theo (V).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AE}} = \dfrac{{AP}}{{AG}} = \dfrac{{AN}}{{AF}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MP//EG,\,\,MN//EF\)
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {BCD} \right)\).
Ta có \(\dfrac{{MN}}{{EG}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có \(\Delta MNP\) đồng dạng với \(\Delta BCD\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \dfrac{1}{9}\).
Dựng \(B'C'\) qua M và song song \(BC\). \(C'D'\) qua P và song song với \(CD\).
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( {B'C'D'} \right)\).
Trong \(\left( {ABG} \right)\) gọi \(I = AQ \cap B'P\). Ta có \(\dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AQ}} = \dfrac{{AP}}{{AG}} = \dfrac{2}{3}\).
\(\begin{array}{l}\dfrac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}} = \dfrac{{QI}}{{AI}} = \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}\ \Rightarrow \dfrac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_{MNPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{27}} \Rightarrow {V_{MNPQ}} = \dfrac{V}{{27}}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
