Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường ché
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của lăng trụ là 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp 2 đáy như hình vẽ
Ta có: Rcầu = IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’
Ta có góc giữa đường chéo A’B với mặt đáy (ABC) chính là góc \(\widehat{ABA'}={{60}^{0}}\)
Khi đó ta có: \(AA'=AB.\tan {{60}^{0}}=a.\sqrt{3}\)
Ta có: \(IO=\frac{OO'}{2}=\frac{AA'}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác ABC đều với O là trọng tâm nên \(AO=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác vuông AIO ta có:
\(I{{A}^{2}}=I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}={{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+\frac{3{{a}^{2}}}{9}=\frac{13{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow IA=\frac{a\sqrt{39}}{6}\) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:
\(S=4\pi .{{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{39}}{6} \right)}^{2}}=4\pi .\frac{{{a}^{2}}.39}{36}=\frac{13}{3}\pi {{a}^{2}}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.