Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB = aAA' = a căn 2 . Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳn
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,AA' = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), do \(\Delta A'B'C'\) đều nên \(A'M \bot B'C'\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'M \bot B'C'\\A'M \bot BB'\,\,\left( {BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
\( \Rightarrow MB\) là hình chiếu của \(A'B\) trên \(\left( {BCC'B'} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;MB} \right) = \angle A'BM\).
Do \(A'M \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'M \bot BM \Rightarrow \Delta A'BM\) vuông tại \(M\).
Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(a \Rightarrow A'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\Delta A'AB\) vuông tại \(A\) (do \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AB\)) nên áp dụng định lí Pytago ta có: \(A'B = \sqrt {AA{'^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác vuông \(A'BM\) có: \(\sin \angle A'BM = \dfrac{{A'M}}{{A'B}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle A'BM = {30^0}\).
Vậy \(\angle \left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = {30^0}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
