Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằn
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng \(1 \) và \( \sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và \(A'M = \frac{{2 \sqrt 3 }}{3} \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BB',CC'\) \( \Rightarrow AE = 1,AF = \sqrt 3 \)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AE\\BB' \bot AF\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow BB' \bot FE \Rightarrow FE = d\left( {C,BB'} \right) = 2\)
Suy ra \(\Delta AEF\) vuông tại \(A\)
Gọi \(K = MM' \cap FE \Rightarrow K\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow AK = \frac{1}{2}FE = 1\)
Lại có \(MM'//BB' \Rightarrow MM' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MM' \bot AK\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{AM{'^2}}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{3}{4} \Rightarrow AM = 2\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(FE \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\begin{array}{l}MM{'^2} = A{M^2} + AM{'^2} = \frac{{16}}{3} \Rightarrow MM' = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = BB'\\{S_{BB'C'C}} = d\left( {C,BB'} \right).BB' = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{ABCC'B'}} = \frac{3}{2}.\frac{1}{3}AH.{S_{BB'C'C}} = \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{8}{{\sqrt 3 }} = 2\end{array}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.