Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi MN lần lượt thuộc các cạnh BCCD sao
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(BC,\,\,CD\) sao cho \(MN\) luôn bằng \(1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện \(SAMN\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(1\) nên \(AC = BD = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOA\) ta có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot \left( {AMN} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{AMN}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}.{S_{AMN}}\).
Do đó \({V_{S.AMN\,\,\min }} \Leftrightarrow {S_{AMN}}\) min.
Đặt \(CM = x,\,\,CN = y\,\,\left( {0 \le x;y \le 1} \right)\), khi đó ta có \({x^2} + {y^2} = 1\) (Định lí Pytago trong tam giác vuông \(CMN\)).
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AB.AM = \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right)\\{S_{ADN}} = \dfrac{1}{2}AD.DN = \dfrac{1}{2}\left( {1 - y} \right)\\{S_{CMN}} = \dfrac{1}{2}xy\\ \Rightarrow {S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{ABM}} + {S_{ADN}} + {S_{CMN}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {1 - x + 1 - y + xy} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {2 - x - y + xy} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {x + y - xy} \right)\end{array}\)
Ta có \({x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \sqrt {1 - {x^2}} \). Khi đó ta có \(S = \dfrac{1}{2}\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} - x\sqrt {1 - {x^2}} \) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \sqrt {1 - {x^2}} - x.\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\y' = \dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x - \left( {1 - {x^2}} \right) + {x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\y' = \dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} + 2{x^2} - x - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} + 2{x^2} - x - 1 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} + \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} \left[ {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \left( {2x + 1} \right)} \right] = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \left( {2x + 1} \right) = 0\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\1 + x = \left( {1 - x} \right){\left( {2x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\4{x^3} - 2x = 0\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{4}\).
\( \Rightarrow \min {S_{AMN}} = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{4}\).
Vậy \(\min {V_{S.AMN}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{4} = \dfrac{{4 - \sqrt 2 }}{{24}}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
