Cho khối chóp S.ABC có ( SAB ) bot ( ABC )( SAC ) bot ( ABC )SA = aAB = AC = 2a BC = 2a căn 2 . Gọ
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối chóp S.ABC có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right),\)\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right),SA = a,AB = AC = 2a,\) \(BC = 2a\sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC bằng
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét tam giác \(ABC\) có
\(A{B^2} + A{C^2} = 4{a^2} + 4{a^2} = 8{a^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (Định lí Pytago đảo).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow MN//AC\) (MN là đường trung bình của tam giác ABC).
\( \Rightarrow \left( {SMN} \right)//AC \Rightarrow d\left( {SM;AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot AB\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot MN\).
\( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SN\,\,\left( {H \in SN} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SN\\AH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAN\) ta có: \(AH = \frac{{SA.AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {SM;AC} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.