Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=\frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi hình lập phương có cạnh là \(a.\)
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:
\(\begin{array}{l}
B'\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\;A'\left( {a;\;0;\;0} \right),\;C'\left( {0;\;a;\;0} \right),\;D'\left( {a;\;a;\;0} \right),\\
A\left( {a;\;0;\;a} \right),\;I\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;0} \right),\;B\left( {0;\;0;\;a} \right),\;O\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;\frac{a}{2}} \right).\\
\Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {0;\;0;\;\frac{a}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OI} = \left( {0;\;0;\;\frac{a}{6}} \right).\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - {x_O} = 0\\
{y_M} - {y_O} = 0\\
{z_M} - {z_O} = \frac{a}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{a}{2}\\
{y_M} = \frac{a}{2}\\
{z_M} = \frac{{2a}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;\frac{{2a}}{3}} \right).
\end{array}\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( \frac{a}{2};\ -\frac{a}{2};\ \frac{a}{3} \right),\ \overrightarrow{MB}=\left( -\frac{a}{2};\ -\frac{a}{2};\ \frac{a}{3} \right),\ \overrightarrow{MC'}=\left( -\frac{a}{2};\ \frac{a}{2};-\frac{2a}{3} \right),\ \overrightarrow{MD'}=\left( \frac{a}{2};\ \frac{a}{2};-\frac{2a}{3} \right). \\ & \Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}=\left[ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{MB} \right]=\left( 0;-\frac{{{a}^{2}}}{3};-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)=-{{a}^{2}}\left( 0;\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{2} \right). \\ & {{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}}=\left[ \overrightarrow{MC'},\ \overrightarrow{MD'} \right]=\left( 0;-\frac{2{{a}^{2}}}{3};-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)=-{{a}^{2}}\left( 0;\ \frac{2}{3};\ \frac{1}{2} \right). \\\end{align}\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( MAB \right)\) và \(\left( M'C'D' \right).\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \cos \alpha =\frac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}} \right|}=\frac{\left| \frac{1}{3}.\frac{2}{3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{4}}}=\frac{17\sqrt{13}}{65}. \\ & \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{6\sqrt{13}}{65}. \\\end{align}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
