Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a trên BC1 lấy điểm M sao cho D1M DA1 AB1 đồng phẳng. Tín
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cạnh \(a\), trên \(B{C_1}\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {{D_1}M} ,\,\,\overrightarrow {D{A_1}} ,\,\,\overrightarrow {A{B_1}} \) đồng phẳng. Tính diện tích \(S\) của \(\Delta MA{B_1}\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
\(B = 0,\,\,\,{B_1}\left( {a;0;0} \right),\,\,{C_1}\left( {a;a;0} \right);\,\,C\left( {0;a;0} \right),\,\,A\left( {0;0;a} \right),\,\,{A_1}\left( {a;0;a} \right),\,\,{D_1}\left( {a;a;a} \right),\,\,D\left( {0;a;a} \right)\).
Vì \(M \in B{C_1}\) nên gọi \(M\left( {x;x;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{D_1}M} = \left( {x - a;x - a; - a} \right);\,\,\overrightarrow {D{A_1}} = \left( { - a;a;0} \right);\,\,\overrightarrow {A{B_1}} = \left( {a;0; - a} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{D_1}M} ,\,\,\overrightarrow {D{A_1}} ,\,\,\overrightarrow {A{B_1}} \) đồng phẳng nên \(\left[ {\overrightarrow {{D_1}M} ;\,\,\overrightarrow {D{A_1}} } \right].\overrightarrow {A{B_1}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3a}}{2};\dfrac{{3a}}{2};0} \right)\).
Nên \(\overrightarrow {MA} = \left( { - \dfrac{{3a}}{2}; - \dfrac{{3a}}{2};a} \right),\,\,\overrightarrow {M{B_1}} = \left( { - \dfrac{a}{2}; - \dfrac{{3a}}{2};0} \right)\).
Vậy \(S = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {M{A_1}} ;\overrightarrow {MB} } \right]} \right| = \dfrac{{{a^2}\sqrt {19} }}{4}\).
Chọn C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
