Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC=120^0 cạnh b
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\), cạnh bên \(BB'=a\), gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cách 1:
Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác ABC là tam giác cân, AB = AC = a và \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} OA=AC.\sin {{30}^{0}}=\frac{a}{2} \\ OC=AC.\cos {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ \end{align} \right.\)
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình bên:
Trong đó,\(O(0;0;0),\,\,A\left( 0;\frac{a}{2};0 \right),\,\,B'\left( \frac{a\sqrt{3}}{2};0;a \right),\,\,\,I\left( -\frac{a\sqrt{3}}{2};0;\frac{a}{2} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) và có VTPT là\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;0;1 \right)\).
\(\overrightarrow{IB'}=\left( a\sqrt{3};0;\frac{a}{2} \right);\,\overrightarrow{IA}=\left( \frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};-\frac{a}{2} \right)\)
Mặt phẳng (IB’A) có 1 VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \left( 2\sqrt{3};0;1 \right);\left( \sqrt{3};1;-1 \right) \right]=\left( 1;3\sqrt{3};2\sqrt{3} \right)\).
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (IB’A) :
\(\cos \left( \widehat{(ABC);(AB'I)} \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}} \right) \right|=\left| \frac{0.(-1)+0.3\sqrt{3}+1.2\sqrt{3}}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}} \right|=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\)
Chọn: C
Cách 2:
Trong \(\left( ACC'A' \right)\) kéo dàu \(AI\) cắt \(A'C'\) tại D.
Trong \(\left( A'B'C' \right)\) kẻ \(A'H\bot B'D\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A'H \bot B'D\\AA' \bot B'D\end{array} \right. \Rightarrow B'D \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow AH \bot B'D\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'I} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'D\\\left( {A'B'C} \right) \supset A'H \bot B'D\\\left( {AB'I} \right) \supset AH \bot B'D\end{array} \right.\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'I} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'H;AH} \right)} = \widehat {AHA'}\end{array}\)
Ta dễ dàng chứng minh được C’ là trung điểm của \(A'D\)
\(\begin{align} \Rightarrow {{S}_{B'A'D}}=\frac{1}{2}d\left( B';A'D \right).A'D=\frac{1}{2}.d\left( B';A'C' \right).2A'C'=2{{S}_{A'B'C'}} \\ \Rightarrow {{S}_{B'A'D}}=2.\frac{1}{2}.a.a\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)
Xét tam giác \(A'B'D\) có \(B'D=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'{{D}^{2}}-2A'B'.A'D.\cos {{120}^{0}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow A'H=\frac{2{{S}_{A'B'D}}}{B'D}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{a\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Xét tam giác vuông \(AA'H\) có: \(AH=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3}{7}{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{70}}{7}\)
\(\Rightarrow \cos \widehat{AHA'}=\frac{A'H}{AH}=\frac{\frac{a\sqrt{21}}{7}}{\frac{a\sqrt{70}}{7}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.