Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C' \) có đáy \(ABC \) là tam giác vuông tại \(A \), cạnh \(BC = 2a \) và \( \angle ABC = {60^0} \). Biết tứ giác \(BCC'B' \) là hình thoi có \( \angle B'BC \) nhọn. Biết \( \left( {BCC'B'} \right) \) vuông góc với \( \left( {ABC} \right) \) và \( \left( {ABB'A'} \right) \) tạo với \( \left( {ABC} \right) \) góc \({45^0} \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C' \) bằng:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kẻ \(B'H \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right) \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//AC \Rightarrow HK \bot AB\,\,\left( {K \in AB} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HK\\AB \bot B'H\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B'HK} \right) \Rightarrow AB \bot B'K\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {ABB'A'} \right) \supset B'K \bot AB\\\left( {ABC} \right) \supset HK \bot AB\end{array} \right.\\ \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'K;HK} \right) = \angle B'KH = {45^0}\end{array}\)
Đặt \(HK = x \Rightarrow BK = HK.\cot {60^0} = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\).
Trong tam giác vuông \(B'HK:\,\,HK = B'H = x;\,\,B'K = HK\sqrt 2 = x\sqrt 2 \).
Trong tam giác vuông \(BB'K:\,\,BB{'^2} = B'{K^2} + K{B^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{a^2} = 2{x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{3} = \dfrac{7}{3}{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{7}a = B'H\).
Ta có: \(AB = BC.\cos {60^0} = 2a.\dfrac{1}{2} = a;\,\,AC = BC\sin 60 = 2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = B'H.{S_{ABC}} = \dfrac{{2\sqrt {21} a}}{7}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.