Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tam giác A'BC đều và nằm trong mặt p
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh a, tam giác \(A'BC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), M là trung điểm của cạnh \(CC'\). Tính cosin góc \(\alpha \)giữa hai đường thẳng AA’ và BM.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)
Ta có \(A'H = AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \(AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Do \(AA'\)//\(CC'\) nên \(\left( {AA';BM} \right) = \left( {CC';BM} \right)\). Ta tính góc \(\widehat {BMC}\).
Vì M là trung điểm của CC’ nên \(CM = \dfrac{1}{2}CC' = \dfrac{1}{2}AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Gọi N là giao điểm của A’M với AC. Do \(CM\)//\(AA'\), \(CM = \dfrac{1}{2}AA'\)nên CM là đường trung bình \(\Delta AA'N \Rightarrow C\) là trung điểm của AN.
Ta có: \(A'C = AC = CN\) nên \(\Delta AA'N\) vuông tại A’, AN = 2a, \(AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow A'N = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Tương tự, \(\Delta ABN\) vuông tại B, \(AB = a,\,AN = 2a \Rightarrow BN = a\sqrt 3 \)
Xét \(\Delta A'BN\) có: \(A'B = a,\,\,BN = a\sqrt 3 ,\,A'N = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2},\,\,BM\)là trung tuyến nên
\(B{M^2} = \dfrac{{B{N^2} + A'{B^2}}}{2} - \dfrac{{A'{N^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{11{a^2}}}{8} \Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{4}\)
Xét \(\Delta BMC\) có: \(\cos \widehat {BMC} = \dfrac{{B{M^2} + C{M^2} - B{C^2}}}{{2.BM.CM}} = \dfrac{{\dfrac{{11{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{8} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt {22} }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt {33} }}{{11}}\).
Chọn: C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.