Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' xuống (
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(AB\). Mặt bên \(\left( {ACC'A'} \right)\) tạo với đáy góc \({45^o}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BM \bot AC\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AM\). Ta có \(KH\) là đường trung bình của tam giacx \(ABM\)
\( \Rightarrow KH//BM \Rightarrow KH \bot AC\) và \(KH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot A'H\,\,\left( {gt} \right)\\AC \bot KH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow C \bot A'K\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {ACC'A'} \right) \supset A'K \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset KH \bot AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'K;KH} \right) = \angle A'KH = {45^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta A'KH\) vuông cân tại \(H \Rightarrow A'H = KH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
