Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 2 căn 3 và AA' = 2. Gọi M N P lần lượt
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 \) và \(AA' = 2\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A'B'\), \(A'C'\) và \(BC\) (tham khảo hình vẽ dưới). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {MNP} \right)\) bằng
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(F\) là trung điểm của \(B'C'\), \(E\) là giao điểm của \(MN\) và \(A'F\).
Dựng \(AH \bot EP\,\,\left( {H \in EP} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot A'F\\MN \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {AA'F} \right) \Rightarrow MN \bot AH\)
\( \Rightarrow AH \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = AH\)
\(\Delta ABC\) đều\( \Rightarrow AP = \dfrac{{AB.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 3\)
Gọi giao điểm của đường thẳng PE và AA’ là S. Do \(A'E//AP,\,\,A'E = \dfrac{1}{2}AP\)
\( \Rightarrow A'E\) là đường trung bình của tam giác APS
\( \Rightarrow A'\) là trung điểm của SA\( \Rightarrow SA = 2.AA' = 2.2 = 4\)
Ta có : \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{P^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{{25}}{{144}} \Rightarrow AH = \dfrac{{12}}{5}\)
Vậy, khoảng cách từ A đến (MNP) là \(\dfrac{{12}}{5}\).
Chọn: D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.